Moving Average In R Time Series

Time Series dan Forecasting. R memiliki fasilitas yang luas untuk menganalisis data deret waktu Bagian ini menjelaskan pembuatan deret waktu, dekomposisi musiman, pemodelan dengan model eksponensial dan ARIMA, dan peramalan dengan paket perkiraan. Membuat deret waktu. Fungsi ts akan Mengubah vektor numerik menjadi objek seri R waktu Formatnya adalah ts vector, start, end, frekuensi dimana start dan end adalah waktu pengamatan pertama dan terakhir dan frekuensi adalah jumlah observasi per satuan waktu 1 tahunan, 4 kuartly, 12 bulanan, dan lain-lain, menyimpan vektor numerik yang berisi 72 pengamatan bulanan dari Jan 2009 sampai Des 2014 sebagai objek time series myts - ts myvector, mulai c 2009, 1, akhir c 2014, 12, frekuensi 12 subset dari deret waktu Juni 2014 sampai Desember 2014 myts2 - window myts, mulai c 2014, 6, akhir c 2014, 12 plot plot plot myts. Seasonal Decomposition. A time series dengan tren additif, musiman, dan komponen tidak beraturan dapat didekomposisi dengan menggunakan fungsi stl Catatan Bahwa seri dengan efek multiplikatif seringkali dapat diubah menjadi seri dengan efek aditif melalui transformasi log i e newts - log myts. Dekomposisi musiman cocok - stl myts, plot sesuai plot tambahan monthplot myts perpustakaan ramalan seasonplot myts. Exponential Models. Both fungsi HoltWinters di instalasi dasar, dan fungsi ets dalam paket perkiraan, dapat digunakan untuk menyesuaikan model eksponensial. Model eksponensial sederhana - model tingkat cocok - HoltWinters myts, beta FALSE, gamma FALSE tingkat eksponensial ganda - model dan kecocokan tren - HoltWinters myts, gamma FALSE triple eksponensial - tingkat model, tren, dan komponen musiman yang sesuai - HoltWinters perkiraan akurasi ramalan perpustakaan perkiraan akurasi Memprediksi tiga perkiraan masa depan perkiraan ramalan perpustakaan yang sesuai, 3 ramalan proyeksi yang sesuai, 3.ARIMA Models. Fungsi arima dapat digunakan untuk menyesuaikan model rata-rata bergerak terintegrasi autoregressive. Fungsi lain yang berguna meliputi versi pengukuran deret waktu, observasi kembali. Menggunakan R untuk Analisis Seri Waktu. Analisis Seri Waktu. Buklet ini memberi tahu Anda bagaimana menggunakan perangkat lunak statistik R untuk melakukan beberapa analisis sederhana yang umum dalam menganalisis data deret waktu. Buklet ini mengasumsikan bahwa pembaca memiliki pengetahuan dasar tentang deret waktu. Analisis, dan fokus utama buku ini bukan untuk menjelaskan analisis deret waktu, melainkan untuk menjelaskan bagaimana melakukan analisis ini di G R. Jika Anda baru mengenal analisis deret waktu, dan ingin mempelajari lebih lanjut tentang konsep apa pun yang disajikan di sini, saya akan sangat merekomendasikan buku produk Open Series Time series M249 02, tersedia dari Open Market Shop. In ini Buklet, saya akan menggunakan kumpulan data rangkaian waktu yang telah disediakan dengan baik oleh Rob Hyndman di Perpustakaan Data Seri Waktu-nya. Jika Anda menyukai buklet ini, Anda mungkin juga ingin memeriksa buklet saya untuk menggunakan R untuk statistik biomedis, dan Buklet saya menggunakan R untuk analisis multivariat. Membaca Data Seri Waktu. Hal pertama yang ingin Anda lakukan untuk menganalisis data deret waktu Anda adalah membacanya menjadi R, dan untuk merencanakan deret waktu Anda dapat membaca data ke dalam R menggunakan Fungsi pemindaian, yang mengasumsikan bahwa data Anda untuk titik waktu berturut-turut ada dalam file teks sederhana dengan satu kolom. Misalnya, file tersebut berisi data tentang usia kematian raja-raja berturut-turut Inggris, dimulai dengan William the Conqueror sumber asli Hipel dan Mcleod, 19 94. Kumpulan data terlihat seperti ini. Hanya beberapa baris pertama dari file yang telah ditunjukkan Tiga baris pertama berisi beberapa komentar pada data, dan kami ingin mengabaikan hal ini saat kami membaca data ke R Kami dapat menggunakan ini dengan menggunakan Parameter skip fungsi pemindaian, yang menentukan berapa banyak baris di bagian atas file yang harus diabaikan Untuk membaca file ke R, mengabaikan tiga baris pertama, kita ketik. Dalam hal ini usia kematian 42 raja berturut-turut Inggris Telah dibaca ke variabel raja. Setelah Anda membaca data deret waktu ke R, langkah selanjutnya adalah menyimpan data dalam objek deret waktu di R, sehingga Anda dapat menggunakan banyak fungsi untuk menganalisis data deret waktu. Menyimpan data dalam objek deret waktu, kita menggunakan fungsi ts di R Misalnya, untuk menyimpan data di variabel raja sebagai objek deret waktu di R, kita mengetik. Kadang data deret waktu yang Anda tetapkan mungkin telah Dikumpulkan secara berkala yang kurang dari satu tahun, misalnya bulanan atau kuartalan di Kasus ini, Anda dapat menentukan berapa kali data dikumpulkan per tahun dengan menggunakan parameter frekuensi pada fungsi ts Untuk data time series bulanan, Anda mengatur frekuensi 12, sedangkan untuk data deret triwulanan, Anda menetapkan frekuensi 4.Anda dapat Juga tentukan tahun pertama bahwa data dikumpulkan, dan interval pertama di tahun itu dengan menggunakan parameter awal pada fungsi ts Misalnya, jika titik data pertama sesuai dengan kuarter kedua tahun 1986, Anda akan mulai mulai pada tahun 1986, Contohnya adalah kumpulan data jumlah kelahiran per bulan di kota New York, mulai Januari 1946 sampai Desember 1959 yang awalnya dikumpulkan oleh Newton Data ini tersedia dalam file Kita bisa membaca datanya ke R, dan menyimpannya sebagai Objek seri waktu, dengan mengetik. Demikian pula, file tersebut berisi penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota pantai di Queensland, Australia, untuk Januari 1987-Desember 1993 data asli dari Wheelwright dan Hyndman, 1998 Kita dapat membaca data ke R oleh Mengetik. Waktu Waktu S Eries. Begitu Anda telah membaca sebuah seri waktu ke R, langkah selanjutnya biasanya membuat sebidang data deret waktu, yang bisa Anda lakukan dengan fungsinya di R. Misalnya, untuk merencanakan deret waktu dari usia kematian Dari 42 raja berturut-turut Inggris, kita dapat mengetik. Kita dapat melihat dari plot waktu bahwa seri waktu ini mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi acak dalam data kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Misalnya, untuk merencanakan Seri waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York, kita tipe. Kita bisa melihat dari rangkaian waktu ini yang sepertinya ada variasi musiman dalam jumlah kelahiran per bulan ada puncak setiap musim panas, dan palung setiap musim dingin. Sekali lagi, nampaknya rangkaian waktu ini mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi musiman kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu dan sepertinya tidak bergantung pada tingkat deret waktu, dan fluktuasi acak juga tampak demikian. Kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Simila Untuk merencanakan deret waktu penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota pantai di Queensland, Australia, kami mengetik. Dalam kasus ini, tampak bahwa model aditif tidak sesuai untuk menggambarkan deret waktu ini, karena ukurannya Fluktuasi musiman dan fluktuasi acak nampaknya meningkat dengan tingkat deret waktu. Jadi, kita mungkin perlu mengubah deret waktu agar mendapatkan rangkaian waktu transformasi yang dapat digambarkan dengan menggunakan model aditif. Misalnya, kita dapat mengubah Time series dengan menghitung log alami dari data asli. Di sini kita dapat melihat bahwa fluktuasi musiman dan fluktuasi acak dalam rangkaian waktu log-transformed nampaknya konstan sepanjang waktu, dan tidak bergantung pada tingkat Time series Dengan demikian, deret waktu log-transform dapat digambarkan dengan menggunakan model aditif. Membentuk Seri Waktu. Membentuk rangkaian waktu berarti memisahkannya ke komponen penyusunnya, yang biasanya pada Komponen rendahan dan komponen yang tidak beraturan, dan jika itu adalah rangkaian waktu musiman, komponen musiman. Mengandung Data Non-Musiman. Seri waktu non-musiman terdiri dari komponen tren dan komponen tidak teratur. Menguraikan rangkaian waktu melibatkan usaha untuk memisahkan Time series ke dalam komponen ini, yaitu memperkirakan komponen tren dan komponen tidak beraturan. Untuk memperkirakan komponen tren dari rangkaian waktu non-musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, lazim digunakan metode pemulusan, seperti Seperti menghitung rata-rata bergerak sederhana dari deret waktu. Fungsi SMA dalam paket TTR R dapat digunakan untuk memperlancar data deret waktu menggunakan rata-rata bergerak sederhana Untuk menggunakan fungsi ini, pertama-tama kita perlu menginstal paket TTR R untuk petunjuk bagaimana caranya. Untuk menginstal paket R, lihat Bagaimana cara menginstal paket R Setelah Anda menginstal paket TTR R, Anda dapat memuat paket TTR R dengan mengetikkan. Anda kemudian dapat menggunakan fungsi SMA untuk memperlancar data deret waktu. Fungsi SMA, Anda perlu menentukan rentang urutan rata-rata bergerak sederhana, dengan menggunakan parameter n Sebagai contoh, untuk menghitung rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 5, kita menetapkan n 5 pada fungsi SMA. Misalnya, seperti dibahas di atas, Deret waktu dari usia 42 raja berturut-turut di Inggris tampak tidak musiman, dan mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi data secara acak konstan selama ini. Jadi, kita dapat mencoba Untuk mengestimasi komponen tren rangkaian waktu ini dengan merapikan menggunakan rata-rata bergerak sederhana Untuk memperlancar deret waktu menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 3, dan plot data deret waktu yang merapikan, kita ketik. Masih banyak yang cukup banyak. Fluktuasi acak dalam deret waktu yang dihaluskan dengan menggunakan rata-rata pergerakan sederhana dari pesanan 3 Jadi, untuk memperkirakan komponen tren secara lebih akurat, kita mungkin ingin mencoba merapikan data dengan rata-rata bergerak sederhana dengan tatanan yang lebih tinggi Hal ini memerlukan sedikit percobaan - dan - Kesalahan, untuk menemukan jumlah smoothing yang tepat Sebagai contoh, kita dapat mencoba menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 8. Data yang dihaluskan dengan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 8 memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai komponen tren, dan kita dapat melihat bahwa Usia kematian raja-raja Inggris tampaknya telah menurun dari sekitar 55 tahun menjadi sekitar 38 tahun pada masa pemerintahan 20 raja pertama, dan kemudian meningkat setelah itu menjadi sekitar 73 tahun pada akhir masa pemerintahan raja ke-40 Dalam deret waktu. Kumpulan Data musiman. Seri waktu musiman terdiri dari komponen tren, komponen musiman dan komponen tidak beraturan. Dekomposisi deret waktu berarti memisahkan deret waktu ke dalam ketiga komponen ini, memperkirakan ketiga komponen ini. Untuk memperkirakan Komponen tren dan komponen musiman dari deret waktu musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, kita dapat menggunakan fungsi penguraian dalam R Fungsi ini memperkirakan komponen tren, musiman, dan tidak teratur dari suatu ti Seri yang dapat dideskripsikan dengan menggunakan model aditif. Fungsi membusuk mengembalikan objek daftar sebagai hasilnya, di mana perkiraan komponen musiman, komponen tren dan komponen tidak beraturan disimpan dalam elemen bernama dari benda daftar itu, yang disebut tren musiman, Dan acak masing-masing. Misalnya, seperti yang dibahas di atas, rangkaian waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York musiman dengan puncak setiap musim panas dan setiap musim dingin, dan mungkin dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif sejak musiman dan Fluktuasi acak nampaknya kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Untuk memperkirakan tren, komponen musiman dan tidak beraturan dari seri waktu ini, kita mengetik. Nilai perkiraan komponen musiman, tren dan tidak beraturan sekarang disimpan dalam variabel komponen penyangga tren musiman, tren produksi birthstimeseries Dan komponen birthstimeseries acak Sebagai contoh, kita dapat mencetak perkiraan nilai komponen musiman dengan mengetik. Diperkirakan Faktor musiman diberikan untuk bulan Januari-Desember, dan sama untuk setiap tahun Faktor musiman terbesar adalah untuk bulan Juli sekitar 1 46, dan yang terendah adalah untuk bulan Februari sekitar -2 08, menunjukkan bahwa tampaknya ada puncak kelahiran Pada bulan Juli dan palung saat kelahiran pada bulan Februari setiap tahunnya. Kami dapat merencanakan perkiraan komponen musiman, dan komponen tidak beraturan dari deret waktu dengan menggunakan fungsi plot, misalnya. Plot di atas menunjukkan rangkaian waktu asli, perkiraan tren Komponen kedua dari atas, komponen musiman yang diperkirakan ketiga dari atas, dan komponen bawah yang diperkirakan tidak beraturan Kami melihat bahwa komponen tren perkiraan menunjukkan penurunan kecil dari sekitar 24 di tahun 1947 sampai sekitar 22 pada tahun 1948, diikuti oleh kenaikan yang mantap dari Sekitar 27 pada tahun 1959. Dengan penyesuaian secara alami. Jika Anda memiliki rangkaian waktu musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, Anda dapat menyesuaikan secara musiman deret waktu dengan memperkirakan komponen musiman, dan mengurangi perkiraan Komponen musiman dari rangkaian waktu asli Kita bisa melakukan ini dengan menggunakan perkiraan komponen musiman yang dihitung oleh fungsi penguraian. Misalnya, untuk menyesuaikan secara musiman deret waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York, kita dapat memperkirakan musiman Komponen yang menggunakan dekomposisi, dan kemudian kurangi komponen musiman dari rangkaian waktu aslinya. Kita kemudian dapat merencanakan rangkaian waktu yang disesuaikan secara musiman dengan menggunakan fungsi plot, dengan mengetikkan. Anda dapat melihat bahwa variasi musiman telah dihapus dari rangkaian waktu yang disesuaikan secara musiman. Time series yang disesuaikan secara musiman sekarang hanya berisi komponen tren dan komponen yang tidak beraturan. Prakiraan menggunakan Exponential Smoothing. Exponential smoothing dapat digunakan untuk membuat ramalan jangka pendek untuk data deret waktu. Ekspresi Smoothing Eksponensial. Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan Dengan menggunakan model aditif dengan tingkat konstan dan tanpa musiman, Anda dapat menggunakan pemulusan eksponensial sederhana untuk membuat ramalan jangka pendek. Metode smoothing eksponensial sederhana memberikan cara untuk memperkirakan tingkat pada titik waktu saat ini Smoothing dikendalikan oleh parameter alpha untuk estimasi tingkat pada titik waktu saat ini Nilai alpha terletak antara 0 dan 1 Nilai alpha yang mendekati 0 berarti bahwa bobot kecil ditempatkan pada pengamatan terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Misalnya, file tersebut berisi curah hujan tahunan total dalam inci untuk London, dari 1813-1912 data asli dari Hipel dan McLeod, 1994 Kita dapat membaca data Ke R dan plot dengan mengetik. Anda dapat melihat dari plot yang ada kira-kira tingkat konstan rata-rata tetap konstan sekitar 25 inci Fluktuasi acak dalam deret waktu nampaknya kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu, jadi mungkin sesuai Untuk menggambarkan data menggunakan model aditif Dengan demikian, kita dapat membuat prakiraan menggunakan smoothing eksponensial sederhana. Untuk membuat perkiraan menggunakan smoothing eksponensial sederhana di R, kita dapat menyesuaikan dengan smoothon eksponensial sederhana. G model prediktif menggunakan fungsi HoltWinters di R Untuk menggunakan HoltWinters untuk pemulusan eksponensial sederhana, kita perlu mengatur parameter beta FALSE dan gamma FALSE dalam fungsi HoltWinters parameter beta dan gamma digunakan untuk pemulusan eksponensial Holt, atau eksponensial Holt-Winters Smoothing, seperti yang dijelaskan di bawah ini. Fungsi HoltWinters mengembalikan sebuah variabel daftar, yang berisi beberapa elemen yang disebutkan. Misalnya, untuk menggunakan perataan eksponensial sederhana untuk membuat perkiraan deret curah hujan tahunan di London, kita mengetik. Output dari HoltWinters memberi tahu kita Bahwa perkiraan nilai parameter alfa adalah sekitar 0 024 Ini sangat mendekati nol, memberi tahu kami bahwa prakiraan didasarkan pada pengamatan baru-baru ini dan yang baru-baru ini, walaupun bobotnya sedikit lebih banyak ditempatkan pada pengamatan baru-baru ini. Secara default, HoltWinters hanya membuat perkiraan Untuk periode waktu yang sama yang tercakup dalam rangkaian waktu asli kami Dalam kasus ini, rangkaian waktu asli kami meliputi curah hujan untuk London dari 1813-1912, s O prakiraan juga untuk 1813-1912. Pada contoh di atas, kita telah menyimpan output dari fungsi HoltWinters dalam daftar variabel rainseriesforecasts Prakiraan yang dibuat oleh HoltWinters disimpan dalam elemen bernama dari variabel daftar ini yang disebut pas, jadi kita dapat Mendapatkan nilai mereka dengan mengetik. Kita bisa merencanakan rangkaian waktu aslinya melawan perkiraan dengan mengetik. Plot tersebut menunjukkan rangkaian waktu asli berwarna hitam, dan prakiraan sebagai garis merah Rangkaian perkiraan waktu jauh lebih mulus daripada deret waktu dari Data asli di sini. Sebagai ukuran keakuratan prakiraan, kita dapat menghitung jumlah kesalahan kuadrat untuk kesalahan perkiraan sampel, yaitu kesalahan perkiraan untuk jangka waktu yang tercakup dalam rangkaian waktu asli kami Jumlah penjumlahan - squared-errors disimpan dalam elemen bernama dari daftar variabel rainseries yang disebut SSE, jadi kita bisa mendapatkan nilainya dengan mengetik. Artinya, di sini jumlah kesalahan kuadrat adalah 1828 855. Ini biasa terjadi pada perataan eksponensial sederhana. Untuk menggunakan Nilai pertama dalam deret waktu sebagai nilai awal untuk tingkat Misalnya, dalam deret waktu untuk curah hujan di London, nilai pertama adalah 23 56 inci untuk curah hujan pada tahun 1813 Anda dapat menentukan nilai awal untuk level dalam fungsi HoltWinters oleh Dengan menggunakan parameter Misalnya, untuk membuat perkiraan dengan nilai awal dari level yang ditetapkan menjadi 23 56, kita mengetik. Seperti yang dijelaskan di atas, secara default HoltWinters hanya membuat perkiraan untuk periode waktu yang dicakup oleh data asli, yaitu 1813-1912 untuk Deret waktu curah hujan Kita dapat membuat perkiraan untuk titik waktu lebih lanjut dengan menggunakan fungsi dalam paket ramalan R Untuk menggunakan fungsinya, pertama-tama kita perlu menginstal paket R perkiraan untuk petunjuk bagaimana cara menginstal paket R, lihat Bagaimana cara menginstal sebuah Paket R Setelah Anda menginstal paket R perkiraan, Anda dapat memuat paket R perkiraan dengan mengetikkan. Saat menggunakan fungsinya, sebagai masukan argumen pertama, Anda menyebarkannya model prediktif yang telah Anda paskan menggunakan HoltWinter. Sebagai contoh, dalam kasus deret waktu curah hujan, kami menyimpan model prediktif yang dibuat dengan menggunakan HoltWinters di variabel rainseriesforecasts Anda menentukan berapa banyak titik waktu lebih lanjut yang Anda inginkan untuk membuat prakiraan dengan menggunakan parameter h di Misalnya, untuk membuat Perkiraan curah hujan untuk tahun 1814-1820 8 tahun lagi menggunakan fungsi jenis kami. Fungsi ini memberi Anda ramalan untuk satu tahun, interval prediksi 80 untuk ramalan, dan interval prediksi 95 untuk perkiraan Misalnya, curah hujan yang diperkirakan untuk 1920 adalah sekitar 24 68 inci, dengan interval prediksi 95 dari 16 24, 33 11. Untuk merencanakan prediksi yang dibuat oleh kita dapat menggunakan fungsinya. Di sini prakiraan untuk 1913-1920 diplot sebagai garis biru, interval prediksi 80 sebagai Area yang diarsir dengan warna oranye, dan interval prediksi 95 sebagai area yang diarsir kuning. Kesalahan perkiraan dihitung sebagai nilai yang teramati dikurangi nilai yang diprediksi, untuk setiap titik waktu Kita hanya dapat menghitung perkiraan kesalahan untuk periode waktu yang dibahas b Pada rangkaian waktu awal kami, yaitu 1813-1912 untuk data curah hujan Seperti disebutkan di atas, satu ukuran keakuratan model prediktif adalah SSE sum-of-squared-error untuk kesalahan perkiraan sampel dalam sampel. Kesalahan perkiraan disimpan dalam residu elemen bernama dari variabel daftar yang dikembalikan oleh Jika model prediktif tidak dapat diperbaiki, tidak boleh ada korelasi antara kesalahan perkiraan untuk prediksi berturutan Dengan kata lain, jika ada korelasi antara kesalahan perkiraan untuk prediksi berturut-turut, Ada kemungkinan bahwa ramalan penghalusan eksponensial sederhana dapat diperbaiki oleh teknik peramalan lainnya. Untuk mengetahui apakah ini masalahnya, kita dapat memperoleh correlogram dari kesalahan perkiraan sampel untuk lag lag 1-20 Kita dapat menghitung correlogram dari Kesalahan perkiraan menggunakan fungsi acf di R Untuk menentukan lag maksimum yang ingin kita lihat, kita menggunakan parameter di acf. Untuk contoh, untuk menghitung correlogram perkiraan sampel dalam contoh e Kengerian untuk data curah hujan London untuk kelambatan 1-20, kita mengetik. Anda dapat melihat dari korelogram sampel bahwa autokorelasi pada lag 3 hanya menyentuh batas-batas penting Untuk menguji apakah ada bukti signifikan untuk korelasi non-nol pada tingkat lag 1- 20, kita bisa melakukan uji Ljung Box Ini bisa dilakukan di R dengan menggunakan fungsi, Kelambatan maksimum yang ingin kita lihat ditentukan dengan menggunakan parameter lag pada fungsi Misalnya untuk menguji apakah ada yang tidak nol Autokorelasi pada kelambatan 1-20, untuk perkiraan kesalahan dalam sampel untuk data curah hujan di London, kami mengetik. Di sini statistik uji Ljung-Box adalah 17 4, dan nilai p adalah 0 6, jadi hanya ada sedikit bukti non - Nol autokorelasi dalam perkiraan kesalahan dalam sampel pada lags 1-20.Untuk memastikan bahwa model prediksi tidak dapat diperbaiki, sebaiknya juga periksa apakah kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan Untuk memeriksa Apakah kesalahan perkiraan memiliki varians konstan, kita bisa ma Ke plot waktu dari perkiraan kesalahan dalam sampel. Plot ini menunjukkan bahwa kesalahan perkiraan sampel tampaknya memiliki variasi yang hampir konstan dari waktu ke waktu, walaupun ukuran fluktuasi pada awal deret waktu 1820-1830 mungkin sedikit Kurang dari itu pada tanggal kemudian misalnya 1840-1850.Untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan nol rata-rata, kita dapat merencanakan histogram kesalahan perkiraan, dengan kurva normal terlipat yang memiliki mean nol dan standar deviasi yang sama dengan Distribusi kesalahan perkiraan Untuk melakukan ini, kita dapat menentukan plot fungsi RForecastErrors, di bawah ini. Anda harus menyalin fungsi di atas ke dalam R untuk menggunakannya. Anda kemudian dapat menggunakan plotForecastErrors untuk merencanakan histogram dengan kurva normal yang dilapis dari perkiraan kesalahan Untuk prediksi curah hujan. Plot tersebut menunjukkan bahwa distribusi kesalahan perkiraan kira-kira berpusat pada nol, dan biasanya didistribusikan secara normal, meskipun tampaknya sedikit miring ke kanan dibandingkan dengan norma L kurva Namun, condong kanan relatif kecil, dan sangat masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean zero. Uji Ljung-Box menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel dalam sampel , Dan distribusi kesalahan perkiraan tampaknya terdistribusi normal dengan mean nol Ini menunjukkan bahwa metode pemulusan eksponensial sederhana memberikan model prediksi yang memadai untuk curah hujan London, yang mungkin tidak dapat diperbaiki lagi. Asumsi bahwa interval prediksi 80 dan 95 adalah Berdasarkan bahwa tidak ada autokorelasi dalam kesalahan perkiraan, dan kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan mungkin valid. Holt s Exponential Smoothing. Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan peningkatan Atau tren menurun dan tidak musiman, Anda dapat menggunakan pemulusan eksponensial Holt untuk membuat perkiraan jangka pendek. Ekspresi saut Perataan merapikan tingkat dan kemiringan pada titik waktu saat ini Smoothing dikendalikan oleh dua parameter, alpha, untuk perkiraan tingkat pada titik waktu saat ini, dan beta untuk perkiraan kemiringan b komponen tren pada titik waktu saat ini. Seperti halnya smoothing eksponensial sederhana, paramer alpha dan beta memiliki nilai antara 0 dan 1, dan nilai yang mendekati 0 berarti bahwa bobot kecil ditempatkan pada pengamatan terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Contoh deret waktu yang Mungkin bisa digambarkan menggunakan model aditif dengan tren dan tidak ada musiman adalah deret waktu dari ragam tahunan rok wanita di hem, dari tahun 1866 sampai 1911 Data tersedia dalam file data asli dari Hipel dan McLeod, 1994. Kita bisa membaca dan merencanakan data di R dengan mengetik. Kita dapat melihat dari plot bahwa ada peningkatan diameter hem dari sekitar 600 pada tahun 1866 sampai sekitar 1050 pada tahun 1880, dan setelah itu diameter hemnya menurun sampai sekitar 520 i. N 1911. Untuk membuat prakiraan, kita bisa memasukkan model prediktif menggunakan fungsi HoltWinters di R Untuk menggunakan HoltWinters untuk pemulusan eksponensial Holt, kita perlu mengatur parameter gamma FALSE parameter gamma digunakan untuk pemulusan eksponensial Holt-Winters, seperti yang dijelaskan Di bawah ini. Misalnya, untuk menggunakan pemulusan eksponensial Holt agar sesuai dengan model prediktif untuk diameter rok lingkaran, kita tipe. Nilai perkiraan alpha adalah 0 84, dan beta adalah 1 00 Ini keduanya tinggi, memberi tahu kita bahwa kedua perkiraan Dari nilai arus tingkat, dan kemiringan b komponen tren, sebagian besar didasarkan pada pengamatan yang sangat baru dalam deret waktu Ini masuk akal intuitif, karena tingkat dan kemiringan deret waktu keduanya berubah cukup banyak. Seiring waktu Nilai kesalahan jumlah kuadrat untuk kesalahan perkiraan sampel adalah 16954.Kita dapat merencanakan rangkaian waktu asli sebagai garis hitam, dengan nilai perkiraan sebagai garis merah di atas itu, dengan mengetikkan Kita bisa melihat dari gambar yang ada di sampi Perkiraan le setuju cukup baik dengan nilai yang teramati, walaupun cenderung tertinggal di belakang nilai yang teramati sedikit. Jika Anda mau, Anda dapat menentukan nilai awal dari level dan kemiringan b dari komponen tren dengan menggunakan dan argumen untuk Fungsi HoltWinters Sudah umum untuk menetapkan nilai awal dari tingkat ke nilai pertama pada deret waktu 608 untuk data rok, dan nilai awal kemiringan pada nilai kedua dikurangi nilai pertama 9 untuk data rok Sebagai contoh , Agar sesuai dengan model prediktif terhadap data rok hem dengan menggunakan smthing eksponensial Holt, dengan nilai awal 608 untuk level dan 9 untuk kemiringan b dari komponen tren, kita tipe. Seperti untuk smoothing eksponensial sederhana, kita dapat membuat prakiraan untuk Masa depan yang tidak tercakup dalam rangkaian waktu asli dengan menggunakan fungsi dalam paket perkiraan Misalnya, data deret waktu kami untuk rok hems adalah untuk tahun 1866 sampai 1911, jadi kami dapat membuat prediksi 1912 sampai 1930 19 lebih banyak titik data, dan merencanakannya , B Y typing. Prakiraan dip tunjukkan sebagai garis biru, dengan interval prediksi 80 sebagai area yang diarsir oranye, dan interval prediksi 95 sebagai area berbayang kuning. Seperti untuk smoothing eksponensial sederhana, kita dapat memeriksa apakah model prediktif dapat diperbaiki. Setelah memeriksa apakah kesalahan perkiraan sampel dalam sampel menunjukkan autokorelasi non-nol pada kelambatan 1-20 Misalnya, untuk data rok hem, kita dapat membuat correlogram, dan melakukan uji Ljung-Box, dengan mengetikkan. Di sini, correlogram Menunjukkan bahwa autokorelasi sampel untuk kesalahan perkiraan sampel pada lag 5 melebihi batas signifikan Namun, kita akan memperkirakan satu dari 20 autokorelasi untuk dua puluh lag pertama yang melebihi batas kepentingan 95 secara kebetulan saja. Memang, ketika kita melakukan Uji Ljung-Box, nilai-p adalah 0 47, yang menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel pada lag 1 1-20. Seperti untuk smoothing eksponensial sederhana, kita juga harus memeriksa bahwa Perkiraan e Klaim memiliki varians konstan dari waktu ke waktu, dan biasanya terdistribusi dengan nol rata-rata Kita dapat melakukan ini dengan membuat plot waktu dari kesalahan perkiraan, dan histogram distribusi kesalahan perkiraan dengan kurva normal yang dilapis. Plot waktu perkiraan kesalahan menunjukkan bahwa Kesalahan perkiraan memiliki varians konstan konstan dari waktu ke waktu Histogram kesalahan perkiraan menunjukkan bahwa masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Dengan demikian, uji Ljung-Box menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi pada Kesalahan perkiraan, sementara plot waktu dan histogram kesalahan perkiraan menunjukkan bahwa masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa pemindaian eksponensial Holt memberikan model prediksi yang memadai untuk diameter rok hem, Yang mungkin tidak dapat diperbaiki lagi Selain itu, ini berarti asumsi bahwa interval prediksi 80 dan 95 adalah Berdasarkan mungkin valid. Holt-Winters Exponential Smoothing. Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tren naik dan turun dan musiman, Anda dapat menggunakan pemulusan eksponensial Holt-Winters untuk membuat ramalan jangka pendek. - Winter eksponensial smoothing memperkirakan tingkat, kemiringan dan komponen musiman pada titik saat ini. Smoothing dikendalikan oleh tiga parameter alpha, beta, dan gamma, untuk perkiraan tingkat, kemiringan b dari komponen tren, dan komponen musiman masing-masing. , Pada titik waktu saat ini Parameter alpha, beta dan gamma semuanya memiliki nilai antara 0 dan 1, dan nilai yang mendekati 0 berarti bahwa bobot relatif sedikit ditempatkan pada observasi terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Contoh dari Sebuah seri waktu yang mungkin bisa digambarkan menggunakan model aditif dengan tren dan musiman adalah deret waktu dari log penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota resor pantai di Queensland, Australia dibahas di atas. Untuk membuat perkiraan, kita dapat menyesuaikan model prediktif dengan menggunakan fungsi HoltWinters Misalnya, agar sesuai dengan model prediksi log penjualan bulanan di toko suvenir, kita mengetik. Nilai perkiraan alpha, beta Dan gamma 0 41, 0 00, dan 0 96, masing-masing Nilai alpha 0 41 relatif rendah, menunjukkan bahwa perkiraan tingkat pada titik waktu saat ini didasarkan pada pengamatan terakhir dan beberapa pengamatan di masa lalu yang lebih jauh. Nilai beta adalah 0 00, yang menunjukkan bahwa perkiraan kemiringan b komponen tren tidak diperbarui sepanjang deret waktu, dan sebaliknya disetel sama dengan nilai awalnya. Hal ini membuat indra intuitif yang baik, karena tingkat perubahannya cukup sedikit. Selama deret waktu, namun kemiringan b komponen tren tetap kurang lebih sama Sebaliknya, nilai gamma 0 96 tinggi, menunjukkan bahwa perkiraan komponen musiman pada titik waktu saat ini hanya didasarkan pada pengamatan yang sangat baru. N. Seperti untuk perataan eksponensial sederhana dan pemulusan eksponensial Holt, kita dapat merencanakan rangkaian waktu asli sebagai garis hitam, dengan nilai perkiraan sebagai garis merah di atas itu. Kita melihat dari plot bahwa metode eksponensial Holt-Winters Sangat berhasil dalam memprediksi puncak musiman, yang terjadi kira-kira pada bulan November setiap tahunnya. Untuk membuat ramalan untuk masa depan tidak termasuk dalam rangkaian waktu asli, kami menggunakan fungsi dalam paket ramalan. Misalnya, data asli untuk penjualan souvenir adalah Dari Januari 1987 sampai Desember 1993 Jika kita ingin membuat ramalan untuk bulan Januari 1994 sampai Desember 1998 48 bulan lagi, dan merencanakan perkiraan, kita akan mengetik. Prakiraan dip tunjukkan sebagai garis biru, dan daerah berarsir oranye dan kuning menunjukkan 80 dan 95 interval prediksi, masing-masing. Kita dapat menyelidiki apakah model prediktif dapat diperbaiki dengan memeriksa apakah kesalahan perkiraan sampel menunjukkan autokorelasi non-nol pada lag 1-20, dengan membuat correlogram dan carry Dalam uji Ljung-Box, correlogram menunjukkan bahwa autokorelasi untuk kesalahan perkiraan sampel tidak melebihi batas signifikansi untuk lag lag 1-20 Selanjutnya, nilai p untuk uji Ljung-Box adalah 0 6, menunjukkan bahwa ada is little evidence of non-zero autocorrelations at lags 1-20.We can check whether the forecast errors have constant variance over time, and are normally distributed with mean zero, by making a time plot of the forecast errors and a histogram with overlaid normal curve. From the time plot, it appears plausible that the forecast errors have constant variance over time From the histogram of forecast errors, it seems plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero. Thus, there is little evidence of autocorrelation at lags 1-20 for the forecast errors, and the forecast errors appear to be normally distributed with mean zero and constant variance over time This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predict ive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models. Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autoco rrelations in the irregular component. Differencing a Time Series. ARIMA models are defined for stationary time series Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to difference the time series until you obtain a stationary time series If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA p, d,q model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the diff function in R For example, the time series of the annual diameter of women s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time. We can difference the time series which we stored in skirtsseries , see above once, and plot the differenced series, by typing. The resulting time series of first differences above does not appear to be stationary in mean Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series. Formal tests for stat ionarity. Formal tests for stationarity called unit root tests are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences above does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA p, d,q model for your time series, where d is the order of differencing used For example, for the time series of the diameter of women s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing d is 2 This means that you can use an ARIMA p,2,q model for your time series The next step is to figure out the values of p a nd q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England see above. From the time plot above , we can see that the time series is not stationary in mean To calculate the time series of first differences, and plot it, we type. The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA p,1,q model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model. If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d tim es, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA p, d,q model To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the acf and pacf functions in R, respectively To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set plot FALSE in the acf and pacf functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type. We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 -0 360 exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the pacf function, by typing. The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag lag 1 -0 360, lag 2 -0 335, lag 3 -0 321 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3.Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA autoregressive moving average models are possible for the time series of first differences. an ARMA 3,0 model, that is, an autoregressive model of order p 3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA 0,1 model, that is, a moving average model of order q 1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the p artial autocorrelogram tails off to zero. an ARMA p, q model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate. We use the principle of parsimony to decide which model is best that is, we assume that the model with the fewest parameters is best The ARMA 3,0 model has 3 parameters, the ARMA 0,1 model has 1 parameter, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, the ARMA 0,1 model is taken as the best model. An ARMA 0,1 model is a moving average model of order 1, or MA 1 model This model can be written as Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where Xt is the stationary time series we are studying the first differenced series of ages at death of English kings , mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA moving average model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut the function. The function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg type library forecast , then The output says an appropriate model is ARIMA 0,1,1.Since an ARMA 0,1 model with p 0, q 1 is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA 0,1,1 model with p 0, d 1, q 1, where d is the order of differencing required. Example of the Volcanic Dust Veil in the Nort hern Hemisphere. Let s take another example of selecting an appropriate ARIMA model The file file contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 original data from Hipel and Mcleod, 1994 This is a measure of the impact of volcanic eruptions release of dust and aerosols into the environment We can read it into R and make a time plot by typing. From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series the order of differencing required, d, is zero here. We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARI MA model to use. We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3 The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag lag 1 0 666, lag 2 0 374, lag 3 0 162.The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds especially for lag 19 , the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds 0 666 , while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds -0 126 The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2.Since the correlogram tails off t o zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series. an ARMA 2,0 model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2.an ARMA 0,3 model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero although perhaps too abruptly for this model to be appropriate. an ARMA p, q mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate. Shortcut the function. Again, we can use to find an appropriate model, by typing , which gives us ARIMA 1,0,2 , which has 3 parameters However, different criteria can be used to select a model see help page If we use the bic criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA 2,0,0 , which is ARMA 2,0 bic. The ARMA 2,0 model has 2 parameters, the ARMA 0,3 model has 3 parameters, and the ARMA p, q model has at least 2 parameters Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA 2,0 model and ARMA p, q model are equally good candidate models. An ARMA 2,0 model is an autoregressive model of order 2, or AR 2 model This model can be written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Xt is the stationary time series we are studying the time series of volcanic dust veil index , mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR autoregressive model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA 2,0 model with p 2, q 0 is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA 2,0,0 model can be used with p 2, d 0, q 0, where d is the order of differencing required Similarly, if an ARMA p, q mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA p,0,q model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model. Once you have selected the best candidate ARIMA p, d,q model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA p, d,q model using the arima function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England. For example, we discussed above that an ARIMA 0,1,1 model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the order argument of the arima f unction in R To fit an ARIMA p, d,q model to this time series which we stored in the variable kingstimeseries , see above , we type. As mentioned above, if we are fitting an ARIMA 0,1,1 model to our time series, it means we are fitting an an ARMA 0,1 model to the time series of first differences An ARMA 0,1 model can be written Xt - mu Zt - theta Zt-1 , where theta is a parameter to be estimated From the output of the arima R function above , the estimated value of theta given as ma1 in the R output is -0 7218 in the case of the ARIMA 0,1,1 model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals. You can specify the confidence level for prediction intervals in by using the level argument For example, to get a 99 5 prediction interval, we would type h 5, level c 99 5.We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the function in the forecast R package For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type. The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings The function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings kings 43-47 , as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions The age of death of the 42nd English king was 56 years the last observed value in our time series , and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67 8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA 0,1,1 model, by typing. As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast e rrors for our ARIMA 0,1,1 model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing. Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0 9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20.To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram with overlaid normal curve of the forecast errors. The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero Therefore, it is plausible that the forecast error s are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA 0,1,1 does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere. We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA 2,0,0 model To fit an ARIMA 2,0,0 model to this time series, we can type. As mentioned above, an ARIMA 2,0,0 model can be written as written as Xt - mu Beta1 Xt-1 - mu Beta2 Xt-2 - mu Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated The output of the arima function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0 7533 and -0 1268 here given as ar1 and ar2 in the output of arima. Now we have fitted the ARIMA 2,0,0 model, we can use the model to predict future values of the volcanic dust v eil index The original data includes the years 1500-1969 To make predictions for the years 1970-2000 31 more years , we type. We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing. One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima and functions don t know that the variable can only take positive values Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test. The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0 2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20.To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram. The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0 22.The histogram of forecast errors above shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant var iance Thus, it is likely that our ARIMA 2,0,0 model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon. Links and Further Reading. Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the Kickstarting R website. There is another nice slightly more in-depth tutorial to R available on the Introduction to R website. You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage. To learn about time series analysis, I would highly recommend the book Time series product code M249 02 by the Open University, available from the Open University Shop. There are two books available in the Use R series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. I am grateful to P rofessor Rob Hyndman for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library TSDL in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, Time series product code M249 02 , available from the Open University Shop. Thank you to Ravi Aranke for bringing to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me Avril Coghlan corrections or suggestions for improvements to my email address alc sanger ac uk. mav c 4,5,4,6 , 3 Time Series Start 1 End 4 Frequency 1 1 NA 4 333333 5 000000 NA. Here I was trying to do a rolling average which took into account the last 3 numbers so I expected to get just two numbers back 4 333333 and 5 and if there were going to be NA values I thought they d be at the beginning of the sequence. In fact it turns out this is what the sides parameter controls. sides for convolution filters only If sides 1 the filter coefficients are for past values only if sides 2 they are centred around lag 0 In this case the length of the filter should be odd, but if it is even, more of the filter is forward in time than backward. So in our mav function the rolling average looks both sides of the current value rather than just at past values We can tweak that to get the behaviour we want. library zoo rollmean c 4,5,4,6 , 3 1 4 333333 5 000000.I also realised I can list all the functions in a package with the ls function so I ll be scanning zoo s list of functions next time I need to do something time series related there ll probably already be a function for it. ls package zoo 1 4 7 10 13 16 coredata coredata - 19 facetfree 22 frequency - index 25 index - index2char 28 MATCH 31 34 37 40 43 46 49 ORDER 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 rollapply rollapplyr rollm ax 85 rollmaxr rollmean 88 rollmeanr rollmedian 91 rollmedianr rollsum 94 rollsumr scalexyearmon 97 scalexyearqtr scaleyyearmon scaleyyearqtr 100 time - 103 xblocks 106 yearmon yearmontrans 109 yearqtr yearqtrtrans zoo 112 zooreg. Be Sociable, Share.